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几何学与物理学联系并不奇怪——毕竟，空间是物理学发生的舞台。但是，骨子上空间的几何结构对物理学的紧迫进程，以及咱们天地的几何结构的奇特进程，远进取咱们想像。

如果要说物理学与几何学之间迷东说念主的相互作用，有一位数学家有着第一手的陶冶，他便是丘成桐。

早在1915年，当阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）建议他的广义相对论时，就初步示意了空间不单是是一个物理布景。爱因斯坦构建了一个四维时空，这个时空由咱们熟习的三个空间维度和一个时辰维度组成。他的表面立异性地建议，引力不是一种在时空中穿行的无形的力，而是由大质料物体酿成的时空迂曲。遐想一个放在蹦床上的保龄球，它会形成一个凹下，近邻的物体（如弹珠）会滚入这个凹下。相同，广义相对论以为，恒星和行星等大质料物体会像保龄球一样迂曲时空，眩惑着经由的物体。

艺术家对太阳歪曲时空的印象，以及卡西尼号天外探伤器通过测量信号怎样因歪曲而延伸来测试相对论。图片由NASA提供。

爱因斯坦的这种将空间、时辰、物资和引力协调起来的不雅点全新的——物理学家杨振宁将其样子为一种“地说念的创造”。但是，爱因斯坦用来样子时空曲率的数学并不是新创造的。这一想想不错追念到19世纪，那时数学家卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss)以及他隆起的学生伯恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)建议了从里面测量物体曲率的法子：他们不需要再参照物体处所的更大空间。这种内在的曲率意见恰是爱因斯坦所需要的。

“在黎曼时期，莫得东说念主坚信他的新几何学会有效，”丘成桐解释说念。“但事实解说，它适值合适爱因斯坦的主见。莫得黎曼的责任，爱因斯坦可能需要更长的时辰来发展广义相对论。这成为了东说念主们磋商几何学的紧迫原因：几何学和物理学是相互激动，共同发展的。”

真空中的引力？

当丘成桐第一次了解广义相对论时，他默契到广义相对论建议了一个道理的表面问题：是否存在一个不包含任何物资的时空——一个真空——但其中仍然存在引力？咱们生涯的时空并不是广义相对论唯独适用的时空。爱因斯坦场方程，即样子广义相对论的方程，也允许其他解，举例一个既莫得物资也莫得引力的时空，在这样的时空中，什么齐不会发生。但问题是，一个仍然具有曲率和引力的真空时空是否存在？“在这样的时空中，引力将因为拓扑（即空间的阵势）而不是物资而存在。”丘成桐解释说。

一个甜甜圈杯

丘成桐自后默契到，数学家尤金尼奥·卡拉比(Eugenio Calabi)在20世纪50年代就仍是从几何学的角度建议了这个问题。卡拉比对物体几何阵势的精准特征，如大小和角度，与其拓扑结构之间的相互作用感有趣。拓扑对邃密结构不解锐，只热心物体的举座详尽。举例，一个球和一个泄了气的足球在几何上有很大不同，但它们在拓扑上是相通的，因为这两者不需要任何扯破或切割就不错从一个物体变换成另一个物体。访佛地，拓扑学以为甜甜圈和咖啡杯是等价的，因为一个不错邻接变形为另一个。甜甜圈和球体的阔别在于甜甜圈有一个洞。

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具有给定拓扑的物体不错变形为好多不同的几何阵势：球体变成颓落的足球、金字塔或立方体等。卡拉比想，具有某种拓扑的阵势是否允许某种特定的几何结构。如果谜底是“是”，那么在广义相对论的框架下，所产生的物体不错被视为存在引力的真空。

卡拉比的问题

你不错遐想出无数种拓扑阵势，但拓扑学家通常将他们的耀见解放荡在所谓的流形上。这些对象在近距离不雅察时，看起来像咱们熟习的无为“平坦”空间，即欧几里得空间。举例，球体和甜甜圈在局部看起来就像平坦的二维平面。如果你弥散小，就不会闪耀到它们的曲率，或者它们是否有洞。你不错很容易地在平坦的纸片上画图球体或甜甜圈的一小块。因此，这两个齐是二维流形，也称为曲面。

球体是一个二维流形，因为它局部看起来像欧几里得平面。但是，球体的曲率意味着球面上三角形的内角和进取 180 度。图片：Lars H. Rohwedder

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球体和甜甜圈的另一个共同点是它们齐是紧致的：你只需要有限数目的二维映射即可袒护它们。这意味着它们的范畴是有限的。给定一个甜甜圈或球体，你总能找到一个弥散大的盒子来容纳它，尽管这可能是一个格外大的盒子。

但是，流形不一定必须是二维的。还有三维流形，从近距离看，它们就像是由三个垂直坐标轴组成的三维欧几里得空间。由于从数学上讲，你不错研讨大肆维数的欧几里得空间（只需使用更多的坐标，而不单是是三个），因此也存在职意维数的流形。

卡拉比对紧致流形的几何特色非凡感有趣，非凡利害率。遐想一下，如果你给一个拓扑流形（比如一个球体）赋予一个特定的几何结构（比如一个瘪了的足球），你就不错测量流形上每个点的曲率。这并不老是直不雅的：遐想一只蚂蚁在马鞍面上爬行，当它沿着马鞍的顶部进取爬时，它会感受到进取的迂曲，而当它沿着马鞍的两侧向下爬时，它会感受到向下的迂曲。在二维流形（比如咱们遐想中的马鞍面）中，你不错将曲率与通过给定点的多样一维旅途联系联。

相同，在更高维度中，你不错将曲率的意见与那些镶嵌更大流形并包含你谈论点的二维曲面预计起来。通过取这些二维曲面联系的所有这个词曲率的平均值，不错得到所谓的里奇曲率，即你所不雅察的点的曲率。由于这是一个平均值，里奇曲率只反馈黎曼界说的齐备曲率意见的一个方面。这意味着一个流形在每个点上齐不错有零里奇曲率，而无须举座上是平坦的（或者具有零黎曼曲率）。从物理学的角度来看，里奇曲率捕捉到的部分适值是样子由物资存在引起的时空迂曲的部分。因此，具有零里奇曲率的空间对应于莫得物资的空间，即真空。

但卡拉比对里奇曲率感有趣完满是出于几何学的角度。数学家陈省身在20世纪40年代解说了这样一个事实：一个在每个点上里奇曲率齐为零的流形只可具有某种特定的拓扑结构。在二维空间中，这相当于无为的甜甜圈拓扑。而在更高维度中，由零里奇曲率露出的拓扑结构则愈加难以样子。数学家们指出，具有这种拓扑结构的流形具有一个特殊性质，即它们的第一陈类为零。

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卡拉比将陈省身的问题反过来研讨：如果有一个紧致流形，其第一陈类为零，那么能否将其变形为一个在所有这个词点上黎奇曲率齐为零的几何阵势？换句话说，卡拉比想要知说念，某种特定的拓扑结构是否一定存在相应的几何阵势。但是，卡拉比并不是磋商一般的流形，而是专注于所谓的凯勒流形（Kähler manifolds）。这些流形处理起来更浅近，因为它们偏离欧几里得空间很小，它们也被称为复流形，皇冠投注网这意味着在画图这些流形的映射时，角度会被保留，流形也展现出一定的局部对称性。这种对称性使得凯勒流形疏漏被广博的数学器具所处理，况兼赋予了它们一种特殊的对称性。

丘成桐的回复六维Calabi-Yau 流形的 一个二维横截面

当丘成桐在20世纪70年代初运转磋商这个问题时，他主若是出于对几何学的有趣，不外，正如他告诉咱们的那样，“我一直在想这个问题对物理学也会很道理：构建一个封锁的天地（紧致流形），它莫得物资（因为黎奇曲率为零），但仍然有引力（由于其拓扑结构导致的曲率）。但这样的结构的存在对几何学也风趣过错：卡拉比的臆测为会通里奇曲率提供了一个最明晰的路线。”

开头，丘成桐像其他大深广巨匠一样，以为卡拉比的问题的谜底是“不”。由于拓扑是一个比几何更平常的意见，因此仅凭拓扑就能保证如斯特殊的几何类型似乎有点不可想议。“多年来，我试图解说卡拉比追求的那种流形不存在，”他说。“但不管我尝试什么，我齐会遭遇难题。是以我以为大当然不可能这样严重地嘲谑我，我的推理详情有问题。”

10日，金塔纳海滩郡公园局官员公布了一些照片，显示大量死鱼漂浮在沿海水域。布拉索里亚郡公园部门主管弗雷泽说，鱼被冲上岸的原因是恶劣条件下的“完美风暴”。

1977年，丘成桐最终解说了卡拉比是对的。为了齐备地述说他的扫尾，他解说了任何第一陈类为零的紧致凯勒流形齐不错被赋予零里奇曲率的几何结构。这些流形存在于所有这个词维度中，自后被称为卡拉比-丘流形。

庇荫的维度

1982年，丘成桐因措置了卡拉比臆测而得回菲尔兹奖，这是数学界最高的荣誉，这一冲破对几何学以偏激他规模产生了长远的影响。直到自后他才知说念，卡拉比-丘流形恰是某些物理学家一直在寻找的东西。他回忆说：“有一天（1984年），我和妻子在圣地亚哥，纵眺艳丽的海洋。一会儿电话响了，是我的一又友安德鲁·斯特罗明格（Andrew Strominger）和加里·霍洛维茨（Gary Horowitz）打来的。他们很高亢，因为弦论家们正在构建天地的模子，需要知说念卡拉比-丘流形是否的确存在。我陶然告诉他们，这些流形如实存在。”

弦论试图成为一种“万物表面”，用以解释天地中的所有这个词物理状况。这样的表面也曾是，咫尺仍然是物理学的圣杯，因为现存的两个主要表面——广义相对论（样子宏不雅宇宙）和量子场论（样子亚原子递次宇宙）——相互矛盾。弦论通过建议最小的物资和能量单元不是点状粒子，而是一根根轻微的弦，从而措置了数学上的矛盾。这些弦不错振动，就像吉他弦不错振动一样，不同的振动类型对应着咱们不雅察到的基本粒子和物理力。

在20世纪80年代初，弦论还处于起步阶段。它濒临的一个主要问题是，为了表面的自洽性，它需要十个维度。粒子和力被以为来自于弦振动的所有这个词不同景色。如果维度少于十个，那么就不及以产生所有这个词不雅察到的物理状况。另一方面，如果维度进取十个，弦论可能会产生一些乌有的扫尾。因此，精准的十个维度是必要的。但问题是咱们为什么只可感知到其中的四个维度，即三个空间维度和一个时辰维度？

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卡拉比-丘流形的另一个横截面。弦论宣称时空中的每个点骨子上齐是一个具有卡拉比-丘流形结构的轻微六维宇宙。

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弦论对这一谜题的回复是，六个额外的维度被牢牢地卷曲在一个极其轻微的空间中，这个空间小到咱们无法奏凯感知。丘成桐解释说：“在咱们所不雅察到的四维时空中的每一个点，骨子上齐存在着一个轻微的六维空间。”这些轻微的宇宙太小了，甚至于咱们无法察觉它们的存在。那么，什么样的六维几何结构疏漏容纳这样一个庇荫的宇宙，并夸口弦论的其他条件呢？谜底仍是很昭着了：它必须是一个六维的卡拉比-丘流形。丘成桐补充说念：“卡拉比-丘流形最终为弦表面提供了一个具体的几何模子。”

卡拉比-丘流形对弦论具有眩惑力的一个原因是它们的紧致性：这些流形格外小，直径粗略在10-30厘米把握，比一个电子小上万亿倍。但是还有其他原因。为了与那时的物清楚通保执一致，庇荫维度的流形必须具有零里奇曲率。更紧迫的是，弦论假定了一种特殊的对称性，称为超对称性，这对时空几何建议了特殊条件。这些条件使得卡拉比-丘流形（具有特殊的凯勒对称性）成为弦论的绝佳候选者，尽管咱们仍然不知说念它们是否是维度难题的唯独可能措置决策。

弦论改日

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伴跟着卡拉比-丘流形的发现和其他过错发扬，1984成了弦论发展史上具有里程碑风趣的一年。但故事并莫得就此结束。1986年，弦论遭受了一个小抨击，那时发现弦论需要卡拉比-丘流形的一个微弱修正版块，其里奇曲率不是零，而瑕瑜常接近零。更灾祸的是，有好多不同的六维卡拉比-丘流形可能合适弦论的条件，而且莫得东说念主疏漏谋略出哪个是“正确”的。所有这个词这些齐某种进程上减弱了卡拉比-丘流形在物理学中的地位。但是，当东说念主们发现成对的不同的卡拉比-丘流形不错产生具有相通物理学的表面天地时，另一个推能源出现了。这种流形对引发了新的有趣，并产生了一种新的对称性意见，称为镜像对称（这个名字有些误导，因为它比称呼所示意的要复杂得多）。

镜像对称的确切物理风趣仍然是一个谜，但是，正如丘成桐所说，它导致了“对卡拉比-丘流形的惊东说念主的新会通。并引发了好多丰富的数学后果，这些后果完满是由弦论的直观所驱动的。” 非凡是，新的镜像对称意见措置了一个几何分支中简直被淡忘的长达一个世纪的问题。咱们不准备在这里商榷这个问题，只说它触及到谋略特定几何空间中的弧线的数目。镜像对称提供了得回谜底需要的公式，自后丘成桐和共事们解说了其正确性。

今天，弦论仍然远未完善。有好多物理量它还无法样子。而且它还莫得，咫尺也不成在践诺室中进行测试。但是，丘成桐坚信，弦论地说念的数学一致性意味着它不会是一个误区。“数学家们仍是疏漏解说由弦表面的物理直观所引发的公式。弦论对数学的好多其他惊东说念主孝顺亦然不可残酷的。因为弦论的存在，好多名义上不同的数学规模仍是以一种平滑但完满出东说念主猜测的景色交融在通盘。这意味着弦论中一定有一些实在的因素。它最终会指导出一个对于物资的基本表面吗？咫尺说还为时过早，但咱们坚信它提供的直观中一定有一些说念理。”

作家：

翻译：K.Collider

审校：小聪

剪辑：利有攸往

翻译内容仅代表作家不雅点

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本文转载自《中科院物理所 》微信公众号

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